总体分布，样本分布，抽样分布

Polulation, sample, and sampling distributions

1 总体

我们捏造一个人数为10000人的总体，为10000名被试设定编号ID，并捏造出其IQ数据，设定IQ的均值为100，标准差为15。

# Population，总体
# 总体均值设置为100
mu <- 100
# 总体标准差设置为15
sigma <- 15
# 随机种子值设置为2026
set.seed(2026)
# 将ID与IQ存入数据表中
population10000 <- data.frame(
  # 生成10000个ID（被试编号）
  ID = seq(1:10000), 
  # 生成10000个均值为mu、标注差为delta的IQ分数
  IQ = round(rnorm(10000, mean = mu, sd = sigma), 0)
  )
# 查看数据表
# View(population10000)
# 查看数据表前6行
range(population10000$IQ)
## [1]  45 158
head(population10000)
##   ID  IQ
## 1  1 108
## 2  2  84
## 3  3 102
## 4  4  99
## 5  5  90
## 6  6  62
# 总体的实际均值
mean(population10000$IQ)
## [1] 100.0531
# 总体的实际标准差
sqrt(sum((population10000$IQ - mean(population10000$IQ))^2)/10000)
## [1] 15.01792

2 总体分布

总体分布(population distribution)是总体(10000名被试IQ得分)的分布。注意该分布的横纵坐标的全距。

# 作总体的直方图
# 总体分布是10000个数据点的分布。
library(ggplot2)
ggplot(population10000, aes(x = IQ)) +
  geom_histogram(breaks = seq(40, 160, 10), 
                 fill = "white", 
                 color = "black") +
  scale_x_continuous(breaks = seq(40, 160, 10)) +
  coord_cartesian(xlim = c(40, 160)) +
  theme_bw()

3 取样过程

接下来，我们模拟取样的过程。我们从N = 10000的总体中随机抽取一个样本量n = 100的样本。我们称这个样本为sample1。

# 从总体中随机抽取一个样本量为100的样本，抽取其ID
sample1ID <- sample(population10000$ID, 100)
# 根据ID选出sample1的数据
sample1 <- population10000[sample1ID, ]

4 样本

查看sample1中的数据。注意：被试ID的顺序是乱的，这是由随机取样导致的。

# 查看样本
head(sample1)
##        ID  IQ
## 5784 5784 107
## 4443 4443 103
## 1968 1968  91
## 1890 1890  85
## 697   697 111
## 9873 9873 101

5 基于样本估计总体均值与标准差

样本的均值是总体均值的无偏估计。样本的标准差总是小于总体的标准差，因此使用样本的无偏标准差作为总体标准差的无偏估计。尽管名为“无偏”，实际上还是有偏差的。

# 取值范围
range(sample1$IQ)
## [1]  65 154
# 计算sample1的IQ的均值
sample1_mean <- mean(sample1$IQ)
sample1_mean
## [1] 99.2
# 计算sample1的IQ的标准差
sample1_sd <- sqrt(sum((sample1$IQ - sample1_mean)^2)/100)
sample1_sd
## [1] 15.12614
# sample1的无偏标准差(基于sample1估计总体的标准差)
sample1_sd_unbiased <- sqrt(sum((sample1$IQ - sample1_mean)^2)/(100 - 1))
sample1_sd_unbiased
## [1] 15.20234
# 使用`sd()`函数计算sample1的无偏标准差（总体标准差的估计值）
sd(sample1$IQ)
## [1] 15.20234

6 样本分布

样本分布（sample distribution）是样本中100个被试IQ得分的分布。

ggplot(sample1, aes(IQ)) +
  geom_histogram(breaks = seq(40, 160, 10),
                 fill = "white", 
                 color = "black") +
  scale_x_continuous(breaks = seq(40, 160, 10)) +
  coord_cartesian(xlim = c(40, 160)) +
  theme_bw()

6.1 样本分布与总体分布的关系

若总体的均值mu与标准差sigma是未知的，我们可以用样本的均值与无偏标准差来估计总计的均值与标准差：

\[\begin{align} mu &= M_{sample} sigma &= s_{n-1} \end{align}\]

在上式中，\(M_{sample}\)是样本的均值，\({s_{n-1}}\)是样本的无偏标准差。

7 重复取样

使用一个样本计算得到的均值估计总体的均值产生的偏差可能较大，如果我们重复取样的过程，抽取多个样本，将多个样本的均值求均值，那么，我们将得到更为准确的估计值。下面，我们从人数N = 10000的总体中取出m = 1000个样本量n = 100的样本。

# 从总数为10000的样本中累计抽取1000个样本量为100的样本，存入samples
samples <- list()
for (index in 1:1000) samples[[index]] <- population10000[sample.int(10000, 100), ]
# 查看samples
length(samples)
## [1] 1000
head(samples[[1]])
##        ID  IQ
## 4095 4095  77
## 7241 7241  76
## 2867 2867  98
## 6947 6947 114
## 3949 3949 109
## 1464 1464 133

8 1000个样本的均值的均值

与单个样本（例如：sample1）相比，1000个实际样本的均值的均值更加接近总体均值。

# 分别计算1000个样本的均值，一共得到1000个均值，存入samples_means
samples_means <- sapply(samples, function(x) mean(x$IQ))
head(samples_means)
## [1]  97.21 101.42 101.24 101.03 102.31  99.55
range(samples_means)
## [1]  95.11 106.23
head(samples_means)
## [1]  97.21 101.42 101.24 101.03 102.31  99.55

# 1000个实际样本的均值的均值。
mean(samples_means)
## [1] 100.0201
# 1000个实际样本的均值的标准差。
sum((samples_means-mean(samples_means))^2)/1000
## [1] 2.231855

9 抽样分布

抽样分布是1000个样本的均值的分布。这个分布中的每一个数据点是一个样本中100名被试的IQ的均值，而不是一个被试的IQ得分，这个分布的中心是是1000个样本的均值的均值，这个分布的标准差是1000个样本的均值的标准差。

# 抽样分布。即，1000个样本的均值的分布。
ggplot(data.frame(samples_means), aes(samples_means)) +
  geom_histogram(breaks = seq(95, 105, 1),
                 fill = "white", 
                 color = "black") +
  scale_x_continuous(breaks = seq(95, 105, 1)) +
  theme_bw()

#  + coord_cartesian(xlim = c(40, 160))

# 抽样分布的标准差。
# 即，1000个均值的标准差。
sqrt(sum((samples_means - mean(samples_means)) ^ 2) / 1000)
## [1] 1.493939

9.1 抽样分布与总体分布、样本分布的关系

若总体的均值mu与标准差sigma是已知的：

\[\begin{align} M_{sampling} &= mu SD_{sampling} &= \frac{sigma}{\sqrt{n}} \end{align}\]

在上式中，n是样本量。

若总体的均值mu与标准差sigma是未知的，我们可以用样本的均值与无偏标准差来估计总计的均值与标准差：

\[\begin{align} M_{sampling} &= M_{sample} s_{sampling} &= \frac{s_{n-1}}{\sqrt{n}} \end{align}\]

在上式中，\(M_{sample}\)是样本的均值，\({s_{n-1}}\)是样本的无偏标准差。

本文到此结束。