区分delta置信区间与bootstrap置信区间
Delta CI vs. bootstrap CI
我们可用两种方法检验统计量（e.g., 回归系数，中介效应）的显著性：delta method和bootstrap method。
Delta method基于对取样分布（sampling distribution）的假定，通过公式计算统计量的标准误，然后利用标准误对中介效应进行单样本t检验（或单样本z检验）。利用delta method估计得到的标准误，我们也可以计算统计量的95%置信区间。例如：[coefficient - t *SE, coefficient + t *SE]，其中t 为p = 0.05时t的临界值。本文将该置信区间简称为delta置信区间。通过公式可知，delta置信区间具有对称性，置信区间的下限（Lower Limit）、上限（Upper Limit）与统计量的距离相等，都是t *SE。另外，由于SE是通过公式计算得到的，因此delta置信区间是不变的。
Bootstrap method不对抽样分布作假定，Bootstrap method以自取样模拟从总体取样的过程，通过上千个bootstrap样本的统计量构成的取样分布直接计算中介效应的置信区间，我们称其为bootstrap置信区间。由于该置信区间是通过取样获得的，具有随机性，不会像delta method假定的那样表现出理想的对称性。即，bootstrap置信区间的下限、上限与统计量的距离不相等。另外，由于bootstrap置信区间是通过随机取样计算得到的，因此bootstrap置信区间具有随机性，每次随机抽取的样本不同，计算得到的bootstrap置信区间也不同。
根据置信区间是否对称这一性质，我们可以判断PROCESS、Mplus输出的置信区间是delta置信区间还是bootstrap置信区间。我们以《SPSS for Windows在心理学与教育学中的应用》教材中的data7-03为例，将delta置信区间与bootstrap置信区间进行比较。下文将#作为注释符，对PROCESS输出的结果进行注释和解读。
另外，读者可以自行采用PROCESS进行多次统计分析，然后将多次统计分析得到的置信区间进行比较，观察置信区间是否会发生变化。
Run MATRIX procedure:
*************** PROCESS Procedure for SPSS Version 4.2 beta ***************
Written by Andrew F. Hayes, Ph.D. www.afhayes.com
Documentation available in Hayes (2022). www.guilford.com/p/hayes3
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Model : 4
Y : SuicideI
X : Poblemat
M : Loneline
Sample
Size: 732
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OUTCOME VARIABLE:
Loneline
Model Summary
R R-sq MSE F df1 df2 p
.1594 .0254 96.6540 19.0350 1.0000 730.0000 .0000
Model
coeff se t p LLCI ULCI
constant 35.5995 1.5430 23.0718 .0000 32.5703 38.6287# 这里的置信区间的下限与上限分别是32.5703与8.6287，截距（回归系数）为35.5995，
# 将置信区间的下限、上限与截距作差，得到其差值分别为3.0292、3.0292，表现出对称性。
Poblemat .0741 .0170 4.3629 .0000 .0408 .1075 # 这里的置信区间的下限与上限分别是.0408与.1075，斜率为.0741，
# 将置信区间的下限、上限与斜率作差，得到其差值分别为0.0333、0.0334，
# 0.0333与0.0334相差0.0001，这是精度损失造成的。
Standardized coefficients
coeff
Poblemat .1594
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OUTCOME VARIABLE:
SuicideI
Model Summary
R R-sq MSE F df1 df2 p
.5705 .3254 10.7200 175.8464 2.0000 729.0000 .0000
Model
coeff se t p LLCI ULCI
constant -5.5063 .6757 -8.1488 .0000 -6.8330 -4.1797
Poblemat .0180 .0057 3.1442 .0017 .0068 .0293
Loneline .2188 .0123 17.7504 .0000 .1946 .2430
Standardized coefficients
coeff
Poblemat .0969
Loneline .5469
************************** TOTAL EFFECT MODEL ****************************
OUTCOME VARIABLE:
SuicideI
Model Summary
R R-sq MSE F df1 df2 p
.1841 .0339 15.3322 25.6020 1.0000 730.0000 .0000
Model
coeff se t p LLCI ULCI
constant 2.2826 .6145 3.7143 .0002 1.0761 3.4891
Poblemat .0342 .0068 5.0598 .0000 .0210 .0475
Standardized coefficients
coeff
Poblemat .1841
****************** CORRELATIONS BETWEEN MODEL RESIDUALS ******************
Loneline SuicideI
Loneline 1.0000 .0000
SuicideI .0000 1.0000
************** TOTAL, DIRECT, AND INDIRECT EFFECTS OF X ON Y **************
Total effect of X on Y
Effect se t p LLCI ULCI c_cs
.0342 .0068 5.0598 .0000 .0210 .0475 .1841
Direct effect of X on Y
Effect se t p LLCI ULCI c'_cs
.0180 .0057 3.1442 .0017 .0068 .0293 .0969
Indirect effect(s) of X on Y:
Effect BootSE BootLLCI BootULCI
Loneline .0162 .0040 .0082 .0239# 这里的置信区间的下限与上限分别是.0082与.0239，中介效应为.0162，
# 将置信区间的下限、上限与中介效应作差，得到其差值分别为0.008、0.0077，
# 0.008与0.0077相差0.0003，不对称。
Completely standardized indirect effect(s) of X on Y:
Effect BootSE BootLLCI BootULCI
Loneline .0872 .0213 .0441 .1287
**************************************************************************
Bootstrap estimates were saved to a file
Map of column names to model coefficients:
Conseqnt Antecdnt
COL1 Loneline constant
COL2 Loneline Poblemat
COL3 SuicideI constant
COL4 SuicideI Poblemat
COL5 SuicideI Loneline
*********** BOOTSTRAP RESULTS FOR REGRESSION MODEL PARAMETERS ************
OUTCOME VARIABLE:
Loneline
Coeff BootMean BootSE BootLLCI BootULCI
constant 35.5995 35.6343 1.6734 32.4302 39.0087 # 这里的置信区间的下限与上限分别是32.4302与39.0087，截距（回归系数）为35.5995，
# 将置信区间的下限、上限与截距作差，得到其差值分别为3.1693、3.4092，
# 3.1693与3.4092相差0.2399，不对称。
Poblemat .0741 .0738 .0178 .0376 .1089 # 这里的置信区间的下限与上限分别是.0376与.1089，斜率为.0741，
# 将置信区间的下限、上限与斜率作差，得到其差值分别为0.0365、0.0348，
# 0.0365与0.0348相差0.0017，不对称。
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OUTCOME VARIABLE:
SuicideI
Coeff BootMean BootSE BootLLCI BootULCI
constant -5.5063 -5.4886 .6327 -6.7357 -4.2361
Poblemat .0180 .0179 .0058 .0063 .0292
Loneline .2188 .2186 .0131 .1929 .2444
*********************** ANALYSIS NOTES AND ERRORS ************************
Level of confidence for all confidence intervals in output:
95.0000
Number of bootstrap samples for percentile bootstrap confidence intervals:
5000
WARNING: Variables names longer than eight characters can produce incorrect output
when some variables in the data file have the same first eight characters. Shorter
variable names are recommended. By using this output, you are accepting all risk
and consequences of interpreting or reporting results that may be incorrect.
------ END MATRIX -----